Задача

Задача на тему Интересные примеры в метрических пространствах

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-10-26
Интересные примеры
в метрических пространствах:
 
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1.              Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
                                           е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           …………………………,
                                           еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
                                           ………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2.              Рассмотрим в l2 множество П точек
                                    x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
                           | x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
                      r(x,x*)= £ <1/2n-1<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.
                                   "xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим
                           x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
                                      Тогда:                                                   r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
                              Множество П* содержит точки вида                             x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

1. Реферат Отчет по самостаятельной работа по Экологическому праву
2. Реферат на тему Neptune Essay Research Paper NeptuneNeptune is the
3. Реферат Паллас, Петер Симон
4. Реферат Миграционная политика в Российской Федерации на современном этапе
5. Курсовая на тему Разработка технологического процесса изготовления детали плита нижняя
6. Реферат на тему Exceptional Butterfly Essay Research Paper April McNabbTownsendSeptember
7. Курсовая Рынок труда Европейского союза
8. Реферат на тему Comparison
9. Реферат Тваринний світ України
10. Реферат Статистические методы в управлении качеством