Задача

Задача на тему Интересные примеры в метрических пространствах

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-10-26
Интересные примеры
в метрических пространствах:
 
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1.              Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
                                           е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           …………………………,
                                           еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
                                           ………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2.              Рассмотрим в l2 множество П точек
                                    x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
                           | x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
                      r(x,x*)= £ <1/2n-1<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.
                                   "xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим
                           x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
                                      Тогда:                                                   r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
                              Множество П* содержит точки вида                             x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

1. Реферат Использование фразеологизмов в пьесах Шекспира
2. Реферат Белина, Александр Алексеевич
3. Реферат на тему Poverty Essay Research Paper Ryan BjornstadWhat does
4. Реферат на тему Организационно экономические основы сельскохозяйственных предприятий
5. Реферат на тему Ecosystem Management Essay Research Paper Predators and
6. Диплом на тему 1С-Предприятие и другие компьютерные системы учета и управления
7. Курсовая на тему Изменения в правовом регулировании института коммерческой тайны в с
8. Реферат Экономическая база биржевых индексов
9. Бизнес-план Планирование и амортизационные отчисления
10. Курсовая Договор купли-продажи. Понятие, основные элементы и значение