Задача

Задача на тему Интересные примеры в метрических пространствах

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-10-26
Интересные примеры
в метрических пространствах:
 
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1.              Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
                                           е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           …………………………,
                                           еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
                                           ………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2.              Рассмотрим в l2 множество П точек
                                    x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
                           | x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
                      r(x,x*)= £ <1/2n-1<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.
                                   "xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим
                           x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
                                      Тогда:                                                   r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
                              Множество П* содержит точки вида                             x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

1. Реферат на тему Macbeth Remains A Shakespeare Tragic Hero Essay
2. Реферат Виды преступных групп и их криминалистическая характеристика
3. Курсовая на тему Договор найма жилого помещения 2
4. Курсовая Селекция и трансплантация в скотоводстве
5. Реферат Улас Самчук и Василий Барка
6. Курсовая на тему Учет затрат на производство продукции работ услуг
7. Реферат на тему The Common Hemingway Protagonist Soldier
8. Реферат Монголо-татарское иго и его роль в истрической судьбе России
9. Реферат Куклы-обереги для защиты дома, семьи
10. Реферат Философия Артура Шопенгауэра 2