Рассказ

Рассказ Пятый постулат

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2015-10-30



Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний математики, получившим название „евклидова геометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..Начала". В шко­лах всего мира, долгие столетия геометрия преподава­лась по ..Началам" Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и рас­пространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора ..Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам", дея­тельность Евклида проходила во время правления Птолемея Сотера 1 (305—282 гг до н.э.). При этом царе, столица Египта Александрия стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и сре­ди них Евклид, который был одним из первых ее препода­вателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свиде­тельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математи­ков и философов, достиг высот тогдашних научных зна­ний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка. Некоторый свет на Ев­клида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и прав­дивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение. Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет осо­бых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорит­ся, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал не­вольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот чело­век ожидает прибыли от науки". Математик Папп (320 г. н. э.) восторгается необыкновенной честностью, скро­мностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных тру­дов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории мате­матики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедукти­вный метод. ..Начала" носят характер учебника, в кото­ром Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида труд­но считать самостоятельным автором содержания „На­чал", за небольшими исключениями, касающимися ко­нусных сечений и сферической геометрии. Но в „Нача­лах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..Начала" были написаны око­ло 300 года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся руко­писи на греческом языке восходят всего лишь к Х ве нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей зр'ранилось только несколько отрывков папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнили внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной до­стоверностью восстановить первоначальный текст заме­чательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на пло­скости, в одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой при­ведены основы стереометрии, остальные книги ..Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных тео­рем без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные постулатами и ввел необхо­димое число определений. Опираясь на этой сиСтеме ак­сиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 тео­рем распределенных в цепочку, очередные звенья кото­рой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,Аксиома параллельно­сти" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приня­ли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..Площадь квадрата построенного на вы­соте прямоугольного треугольника опущенной из прямо­го угла на гипотенузу, равновелика площади прямоу­гольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в трудах других математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразде­лить на три периода: первый необыкновенно буйное, почти стихийное развитие, второй период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяже­нии свыше 2000 лет.

Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге «Начала» сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы гео­метрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых рав­ноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиво­речива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым постула­том. Кто сформулирует эту аксиому?

Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.

Ведущий. У Евклида в «На­чалах» несколько иная формулиров­ка, но суть та же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опро­вергнешь, ведь на практике воспро­изводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.

Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть, следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на остальные аксиомы?

Ведущий. Так оно и было. Ве­ками длились попытки придумать до­казательство — не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и про­ник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недо­казуем и от -господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная мыслимая система геометриче ского познания мира, необходимо от казаться.

1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идо

В жертву требует умов...

 2-й ученик. «Постулат недоказуем!»

Даже страшно произнесть.

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть.             

3-й ученик. На уроках гео­метрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал «неевклидову геометрию», в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую.

Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллель­ности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точ­ку С. Пусть САВ прямой.

Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D, лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча СD непосредственное наблюдение пере­сечения его с АВ становится неосу­ществимым. По этой причине будет логически правомерным изменить на­ше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч СD в ка­кой-то момент своего вращения «от­рывается» от прямой АВ, т. е. пере­стает иметь с ней общую точку.

Тогда «прямую» (аа'), содер­жащую луч, впервые «оторвавший­ся» от АВ, назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть «прямая» (ЬЬ'), симметричная «прямой» {аа') и про­ходящая через точку С (рис. 39). Ясно, что и эту «прямую» (ЬЬ') сле­дует считать параллельной АВ, но уже в направлении луча АВ'. Следо­вательно, через С проходят две «пря­мые», параллельные прямой ВВ'.

С каждой из этих «прямых» луч СА, перпендикулярный прямой В'В, образует угол л
(р),
названный Лобачевским углом параллельности. Угол
p
(р)
зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и об­разующие с перпендикуляром СА угол, меньший л
(р)
, пересекают В'В, все остальные «прямые», про­ходящие через С , не пересекают В'В, их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. Через С проходит бесконечное мно­жество таких «прямых».


В частном случае, когда p (р) ==90°, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, «употребитель­ной», как называл ее Н. И. Лобачевский.

Угол p (р) возрастает и прибли­жается к прямому углу при приближении точки С к прямой В'В .

Из допущения, что p (р)<90° вытекают совершенно иные следствия, составляющие содержание но вой геометрии, так же непротиворечивой, как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем евклидова, отображающей пространственные геометрические и физические соотношения, например, за предела ми мировых областей «средней величины».

Оказалось также, что взаимосвязь пространства и времени, от крытая X. Лоренцом, А. Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и описываемая в рамках специаль­ной теории относительности, имеет непосредственное отношение к гео­метрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазо­тронов используются формулы гео­метрии Лобачевского.

Такую геометрию Лобачевский сначала назвал «воображаемой», а потом (в конце жизни)«пангеометрией», т. е. всеобщей геомет­рией. Теперь ее во всем мире на­зывают «геометрией Лобачевского».

Ученик.

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

Ведущий. Из понимания па­раллельности «по Лобачевскому» вйтекает много диковинных на пер­вый взгляд, но строго обоснован­ных следствий.

Ученик. Каких?

Ведущий. Например, в про­странстве Лобачевского параллель­ные прямые неограниченно сбли­жаются в направлении параллель­ности и потому существу­ют «бесконечные треугольники», сто­роны которых попарно параллельны , но нет подобных много­угольников.

Ученик.

Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.

 Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.

После встал, потянулся устало.

Вечность тайну тебе нашептала,

 И душой изумленной увидел ты то,

 Что доселе не знал и не ведал никто:

 Параллели стрелою нацелены в высь,

 Параллели пронзают межзвездные дали.

Параллели ты, чуешь? стремятся ойтись,

Только сразу такое постигнешь едва ли.
Ведущий. В геометрии Лоба­чевского интересна и важна такая теорема: «Сумма углов треугольни­ка всегда меньше 180°».

Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:

Как для смертных истина ясна,

Что в треугольник двум тупым не влиться.
Теперь-то нам понятно, что не мо­жет быть двух тупых углов не только в нашем «земном» треугольнике, но и в «звездном» треугольнике гео­метрии Лобачевского...

Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на тре­угольнике в геометрии Лобачевского.

Пусть a,b и g углы треуголь­ника, тогда число d= 180°— (a +b+g)

называют «дефектом треугольника» и справедлива поразительная фор­мула выведенная Н. И. Лобачевским d= S/R2, где где Sплощадь треугольника, а Rчисло, одинаковое для всех треугольников Величину К, имеющую размерность длины, назы­вают радиусом кривизны, простран­ства Лобачевского, а отрицательную величину k=1/R2 кривизной этого пространства.

В евклидовом пространстве d=0 (так как a +b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.

Получается так, что наша «упо­требительная» геометрия является предельным (при dà 0) случаем геометрии Лобачевского.

1-й ученик.

В мире все криволинейно.

Прямота лишь сферы часть.

И Евклидово ученье

В космосе... теряет власть.

Ученик. Послушайте стихотво­рение поэта Александра Лихолета (Донецк), напечатанное в альмана­хе «Истоки» (М.: Молодая гвардия, 1983).

Лобачевский


«Все! Перечеркнуты «Начала».

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

О чем он думал во вчерашнем?

О звездном облаке, летящем

Из ниоткуда в никуда?

О том, что станет новым взглядом:

Две трассы, длящиеся рядом,

Не параллельны никогда?

Что постоянному движенью

Миров сопутствует сближенье,

И, значит, встретятся они:

Его земная с неземными

Непараллельными прямыми

Когда-нибудь, не в наши дни?..

Ведущий. Открытие Лобачев­ского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиковего современников не был готов к восприя­тию идей «воображаемой геомет­рии». Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение «непризнанного ученого». Приведу один любопытный факт обществен­ной жизни того времени.

Могучий «властитель дум» пере­довой интеллигенции Н. Г. Черны­шевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утвержде­ниях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы вос­приятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сы­новьям: «Что такое «кривизна луча» или «кривое пространство»? Что та­кое геометрия без аксиомы парал­лельных?» Он сравнивает это с «воз­ведением сапог в квадраты» и «из­влечением корней из голенищ» и го­ворит, что это столь же нелепо, как «писать по-русски без глаголов», (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: «Шелест, робкое дыханье, трели соловья».)

1-й ученик.

Отшатнулись коллеги, отстали друзья…

 Может, в партии жизни зевнул ты ферзя ?

2-й ученик

         Чушь, кричат, Лобачевский,нелепица, бред

Ничего смехотворней и в мире-то нет!

Параллели не встретятся это же просто,

Как дорога от города и до погоста!

Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,

Хоть сто лет рассекая раздольное поле?

3-й ученик.

Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,

Окунутся с разбега в иные законы.

Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,

Мировые законы пока потаенны.

4-й ученик.

Проплывают в ухмылке ученые лица,

И насмешек у сердца стоит ледостав.

Так неужто же он, Лобачевский, смирится?

Нет, он целому миру докажет, что прав!

Ведущий. Потребовалось пол­века для того, чтобы идеи Лоба­чевского сделались неотъемлемой частью математических наук, про­никли в механику, физику, космоло­гию, стали общекультурным достоя­нием. Так, в «Братьях Карамазовых» Иван, обладающий, по словам авто­ра романа, «евклидовским» харак­тером ума, .говорит: «Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму...» Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.


1. Сочинение на тему Афганистан незаживающая рана
2. Реферат на тему Leonardo Fibonacci Essay Research Paper Leonardo FibonacciLeonardo
3. Реферат на тему Особенности правового режима земель принадлежащих гражданам
4. Реферат на тему Catcher In The Rye Thematic Essay Research
5. Реферат на тему Truman Doctrine Essay Research Paper The Truman
6. Лабораторная_работа на тему Настройка механизмов контроля входа
7. Реферат на тему Nature Vs Nurture Essay Research Paper David
8. Реферат Социология семьи 9
9. Реферат Социальный проект Издание молодежной газеты От 13 и старше
10. Лекция на тему Очерки по истории русской культуры