Лекция

Лекция на тему Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-11-09
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), axb, и имеет плотность 1) = (x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди­натных осей Ox и Oy равны

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис­ляются по формулам

а координаты центра масс  и  — по формулам

где l— масса дуги, т. е.

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0x1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
◄ Имеем: Следовательно,
 ►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем:
Отсюда получаем:

В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду­ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
 Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вок­руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C .
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает­ся формулой  (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

то имеем:
 ►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в беско­нечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на от­резке [а, Ь], выражается интегралом

1. Курсовая на тему Финансовая система РФ и методы ее регулирования
2. Реферат на тему Boys N The Hood Essay Research Paper
3. Реферат на тему The Roots Of War Essay Research Paper
4. Реферат Экономика стран во время мирового финансового кризиса
5. Реферат на тему Divorce A Broken Dream Essay Research Paper
6. Реферат Содержание договора дарения
7. Реферат на тему Social Psychology Essay Research Paper Before answering
8. Книга на тему Павленко Н И Птенцы гнезда Петрова
9. Курсовая на тему Ethernet
10. Реферат на тему The Auschwitz Complex Essay Research Paper Auschwitz