Лабораторная работа

Лабораторная работа на тему Кристаллографические символы

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-11-09

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

 

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ  СИМВОЛЫ

Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

Символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a0, b0, c0). Осевыми единицами называют отрезки a0, b0, c0 , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.

Сингония

Угловые соотношения

Осевые единицы

Кубическая
a=b=g=90°
a0=b0=c0
Тетрагональная
a=b=g=90°
a0=b0¹c0
Ромбическая
a=b=g=90°
a0¹b0¹c0
Моноклинная
a=g=90°¹b
a0¹b0¹c0
Триклинная
a¹b¹g¹90°
a0¹b0¹c0
Гексагональная
a=b=90°, g=120°
a0=b0¹c0
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a0, b0, c0 (рис. 1) a=OA/a0, b=OB/b0, c=OC/c0.
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных  к соответствующим единичным отрезкам a0, b0, c0.
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексов h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOY будет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

z
y
x
A
B
C
a0
b0
c0
Рис. 1. Грань кристалла, отсекающая на координатных осях отрезки ОА=аа0, ОВ=bb0, OC=cc0 .

Символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a0, b0, c0 , а точки А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x=x2-x1,    (AB)y=y2-y1,     (AB)z=z2-z1.
Тогда символ направления  [r s t] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление  перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a, b, g, которые оно образует с координатными осями  x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов  нормали к грани (h k l) пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

 

Основные кристаллографические соотношения

1.      Угол между двумя направлениями.
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1, s1, t1], [r2, s2, t2] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения  двух векторов .
.
Если .
(Здесь  - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:
,
.
Откуда
.
2) Угол между направлением и плоскостью
Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [h k l], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r s t].
Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как
 .
3) Условие зональности.
Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой  [r s t] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При  этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как
.
Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r s t] , образованного двумя гранями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) из совместного решения уравнений:
 .
Решение данной системы уравнений можно представить в виде:
 
Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.
Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l), в которой лежат два заданных направления [r1 s1 t1] и [r2 s2 t2]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (h k l).
4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.
При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния  d с индексами (h k l) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое  рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:
 - для ромбической сингонии;
   - для тетрагональной сингонии;
 - для кубической сингонии.

План работы

1.      Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.
2.      Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.
3.      Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.
4.      Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.
5.       Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.

Контрольные вопросы

1.      В чем сущность метода индексов?
2.      Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?
3.      Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?
4.      В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?
5.      Что физически собой представляет условие зональности?

1. Реферат на тему Михаил Федорович Романов
2. Реферат на тему The Portrayal Of Ancient Rulers Essay Research
3. Доклад на тему Великие Кутюрье Ив Сен Лоран Коко Шанель Кристиан Диор Юбер де Живан
4. Диплом на тему Уголовно правовая характеристика преступлений против общественной
5. Реферат Распределение доходов 2
6. Контрольная работа Полировка кузова полироли
7. Реферат Реформы Петра Первого 3
8. Курсовая на тему Організація позакласного читання в початкових класах
9. Реферат на тему The Concept And Antilogy Of Necessity In
10. Курсовая Основные направления совершенствования управления внутренним государственным долгом