Лабораторная работа

Лабораторная работа на тему Кристаллографические символы

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-11-09

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

 

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ  СИМВОЛЫ

Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

Символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a0, b0, c0). Осевыми единицами называют отрезки a0, b0, c0 , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.

Сингония

Угловые соотношения

Осевые единицы

Кубическая
a=b=g=90°
a0=b0=c0
Тетрагональная
a=b=g=90°
a0=b0¹c0
Ромбическая
a=b=g=90°
a0¹b0¹c0
Моноклинная
a=g=90°¹b
a0¹b0¹c0
Триклинная
a¹b¹g¹90°
a0¹b0¹c0
Гексагональная
a=b=90°, g=120°
a0=b0¹c0
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a0, b0, c0 (рис. 1) a=OA/a0, b=OB/b0, c=OC/c0.
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных  к соответствующим единичным отрезкам a0, b0, c0.
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексов h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOY будет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

z
y
x
A
B
C
a0
b0
c0
Рис. 1. Грань кристалла, отсекающая на координатных осях отрезки ОА=аа0, ОВ=bb0, OC=cc0 .

Символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a0, b0, c0 , а точки А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x=x2-x1,    (AB)y=y2-y1,     (AB)z=z2-z1.
Тогда символ направления  [r s t] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление  перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a, b, g, которые оно образует с координатными осями  x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов  нормали к грани (h k l) пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

 

Основные кристаллографические соотношения

1.      Угол между двумя направлениями.
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1, s1, t1], [r2, s2, t2] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения  двух векторов .
.
Если .
(Здесь  - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:
,
.
Откуда
.
2) Угол между направлением и плоскостью
Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [h k l], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r s t].
Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как
 .
3) Условие зональности.
Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой  [r s t] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При  этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как
.
Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r s t] , образованного двумя гранями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) из совместного решения уравнений:
 .
Решение данной системы уравнений можно представить в виде:
 
Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.
Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l), в которой лежат два заданных направления [r1 s1 t1] и [r2 s2 t2]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (h k l).
4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.
При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния  d с индексами (h k l) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое  рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:
 - для ромбической сингонии;
   - для тетрагональной сингонии;
 - для кубической сингонии.

План работы

1.      Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.
2.      Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.
3.      Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.
4.      Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.
5.       Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.

Контрольные вопросы

1.      В чем сущность метода индексов?
2.      Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?
3.      Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?
4.      В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?
5.      Что физически собой представляет условие зональности?

1. Реферат Нравственное воспитание в труде
2. Реферат Административно-процессуальное право РФ
3. Реферат Влияние тревожности на образование защитных механизмов в процессе психологического консультирова
4. Реферат на тему Chopin 2
5. Статья Терроризм, его основные черты
6. Реферат на тему Разгром фашизма во второй мировой войне
7. Сочинение на тему Островский а. н. - луч света и темное царство в пьесе гроза
8. Реферат на тему Ivf Treatment Essay Research Paper IVF is
9. Контрольная работа Саморегулируемые организации на рынке ценных бумаг
10. Реферат на тему Значение записок Цезаря в изучении военной организации Римской арми