Курсовая

Курсовая Статистический анализ и оптимизация САР. Привод сопла ракеты носителя

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2015-10-25






Московский Государственный Авиационный Институт

(Технический университет)

Кафедра 704

Информационно-управляющие комплексы

Курсовая работа

Тема
:
Статистический анализ САР
Выполнил: ст. гр. 07-403

Корнилов Д.М.

Руководитель
:
Кудряшов С. В.


Москва 1998г.



1.     Задание


Привод гибкого сопла ракеты-носителя:


 



Данные
:


Параметры воздействий на входах системы  заданы в виде корреляционных функций:

где:







 
l=1.2




 




Усилительное звено
:


Kp=13 1/c



Параметры первой нелинейности
:


S=0.5;

K1=2.5

K2=1.9
Параметры второй нелинейности
:


S=27 °/c
Параметры третьей нелинейности
:


S=3 °
1.     Промоделировать состояние системы в нелинейном виде.

2.     Линеаризовать нелинейные элементы и промоделировать состояние системы в линеаризованном виде.

3.     Построить эволюцию матрицы ковариаций


Содержание

1. Задание.............................................................................................................................................................

2. Теоретическая часть............................................................................................................................

2.1 Случайные процессы и их математическое описание............................................

2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему    

2.3 Формирующий фильтр......................................................................................................................

2.4 Априорный статистический анализ......................................................................................

2.5 Статистическая линеаризация................................................................................................

3. Реализация....................................................................................................................................................

3.1 Система дифференциальных уравнений............................................................................

3.2 Расчет системы в нелинейной форме....................................................................................

3.3 Расчет линеаризованной системы.........................................................................................

4. Заключение..................................................................................................................................................

5. Список литературы................................................................................................................................

2.      Теоретическая часть

1     Случайные процессы и их математическое описание


Пусть t принадлежит T (допустимому множеству). Если t пробегает непрерывные значения на множестве T, то x(t) принято называть случайным процессом.

При каждом фиксированном t=t* возникает случайная величина x(t*) которую принято называть значением случайного процесса.

Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения вероятностей с возрастающей размерностью k=1,2,...,n. Действительно величина


равна вероятности того, что



Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении x(t) в интересующем нас интервале времени мы располагаем. Практически ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей распределения либо иных характеристик случайных процессов (главным образом моментов первого и второго порядков), которые определяются данными плотностями.

Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и двумерной плотностями, является марковский случайный процесс. Зависимость между значениям x(ti) является простейшей, так как распространяется лишь на соседние значения x(ti-1) и x(ti). Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения x(ti) в интервале [xi, xi+dxi] в момент времени t=ti является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий момент времени ti-1.Зависимость x(ti) от более ранних моментов времени t1, t2,
ti-2,
(т. е. от более глубокой предыстории процесса) отсутствует. Это означает, что для марковского процесса условная (или переходная) плотность:



Отсюда:



Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность условных (переходных) плотностей полностью описывают марковский случайный процесс.

Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае плотность вероятности имеет следующий вид:



Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны к временному сдвигу t:



Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного процесса вообще не зависит от времени.

Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная плотность вероятности которого гауссовская.



n-размерность вектора X,

Kx-матрица ковариации

mx-математическое ожилание.
Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским.

К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

Математическое ожидание



характеризует среднее течение процесса x(t) по времени.

Дисперсия случайного процесса



Корреляционная функция

где , ;эта функция представляет собой среднее произведение центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t+t. Корреляционная функция характеризует степень линейной связи (корреляции) между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время t. При t=0, корреляционная функция равна дисперсии.

Понятие корреляционной функции может быть использовано и для характеристики степени связи двух случайных процессов x(t) и y(t). В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией:


В теории автоматического управления широко используются описания случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное представление случайных процессов.

Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции:



Полученная функция есть четная вещественная функция называемая спектральной плотностью стационарного случайного процесса.

Справедливо обратное:



Для стационарного случайного процесса n(t) (с нулевым математическим ожиданием) типа белого шума, корреляционная функция имеет вид:



где d(t)-дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума.

Спектральная плотность этого процесса будет:



что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса n(t) для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи.

2     Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему


Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами. На ее вход поступает стационарный случайный процесс x(t), на выходе имеет место процесс y(t). Теоретически выходной случайный процесс y(t) является стационарным только после затухания свободных колебаний в системе, то есть при
t®¥. Однако, в инженерных приложениях мы будем считать, что переходный процесс в системе заканчивается за время, определяемое в соответствие с правилами теории управления.

Иными словами мы будем считать процесс y(t) стационарным по истечении времени затухания.

Спектральная плотность выходного процесса имеет вид:



Дисперсия выходного процесса:



Корреляционная функция выходного процесса:


3     Формирующий фильтр


Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотность во всем диапазоне частот.

Спектральная плотность всех физически существующих стационарных случайных процессов представляют собой дробно-рациональную функцию частоты:



Причем степень полинома в знаменателе выше степени полинома в числителе. Такие функции допускают факторизацию:

,

где квадрат модуля амплитудной характеристики некоей фиктивной минимально-фазовой динамической системы, которую в дальнейшем мы будем называть формирующем фильтром соответствующим спектральной плотности  некоего случайного процесса.

4     Априорный статистический анализ


Под априорным статистическим анализом (или анализом точности) понимается определение статистических характеристик (математических ожиданий, дисперсий, спектральных плотностей, распределение вероятностей и т. п.) координат управляемого динамического объекта по известному его дифференциальному уравнению движения и статистическим характеристикам случайных факторов.

Пусть линеаризованные уравнения возмущенного движения управляемого объекта имеют вид:



 
 
где x(t)-вектор состояния (фазовый вектор), размерности nx1,

A(t)-матрица коэффициентов, размерности nxn.

B(t)- матрица коэффициентов ,белых шумов, размерности nxm.

n-вектор белых шумов, размерности mx1.

Тогда дифференциальные уравнения для вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций имеют следующий вид:



 





 



Размерность матрицы ковариации nxn.

N-диагональная матрица интенсивностей  белых шумов.
Дифференциальные уравнения (1)-(3) решаются одним из численных методов интегрирования. Таким образом, мы определяем вектор состояния и статистические характеристики системы в любой момент времени. Перед началом интегрирования, должны быть известны априорные значения вектора состояния, вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций в начальный момент времени.

5     Статистическая линеаризация


Легко видеть, что для решения уравнений из пункта 2.4 необходимы линейные системы уравнений. Однако на практике системы управления могут содержать (и чаще всего содержат)  нелинейные элементы, и уравнение для вектора состояний принимает вид:



 




В этом случае применяется метод статистической линеаризации, когда нелинейный элемент заменяется линейным в некотором смысле эквивалентным.

Пусть нелинейный элемент имеет следующий вид:

Введем



 





линейный элемент следующего вида:



 


,



 
где
Необходимо чтобы величина на выходе линейного элемента была эквивалентна, в некотором смысле, величине на выходе нелинейного элемента.

Существуют два подхода:

1.                 Критерий вида:

M{z}=M{h}

D{z}=D{h}



 
Формулы для коэффициентов статистической линеаризации:




 




2.                 Второй способ заключается в выполнении критерия вида:

M{z}=M{h}

D{h-z}®min

Коэффициент b вычисляется по формуле



 



3.     Реализация


Для решения поставленной задачи было написано  программное обеспечение с помощью среды Microsoft Visual C++ 4.0 для матричных операций, численных методов интегрирования. Основная задача решается в двух программах, для расчета нелинейной системы и линеаризованной.

1     Система дифференциальных уравнений


Для того чтобы ввести в систему случайные возмущения с требуемыми корреляционными функциями воспользуемся понятием формирующего фильтра, динамического звена на вход которого поступает белый шум, а на выходе процесс с требуемыми параметрами. 

Итак, спектральная плотность требуемого процесса имеет вид:



 




Согласно формуле передаточная функция формирующего фильтра имеет вид:


 




 
После несложных преобрахований получаем дифференциальные уравнения для формирующих фильтров двух входов.




Третьей фазовой координатой будет x, значение на входе в третью нелинейность. Его уравнение имеет вид:



 




Эти уравнения и составят систему дифференциальных уравнений:




 


2     Расчет системы в нелинейной форме


Для расчета данной системы в нелинейном виде была разработана соответствующая программа которая интегрировала систему уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Для решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо знать начальные условия, то есть значения вектора состояний в нулевой момент времени, в данном случае они нулевые.

После осуществления интегрирования результаты были записаны в файл, и затем построены. Графики имеют следующий вид:

Рисунок 1.

3     Расчет линеаризованной системы


Для расчета системы в линеаризованным виде по формулам, необходимо линеаризовать систему дифференциальных уравнений, т. е. заменить три нелинейных элемента линейными как это показано в 2.5. Для того чтобы получить коэффициенты статистической линеаризации нам необходимо знать параметры случайного процесса на входе в нелинейность (математическое ожидание и дисперсию). Параметр входа в третью нелинейность имеется в векторе состояний. Поэтому его дисперсия присутствует в матрице ковариации. Для нахождения дисперсий на входе в первую и вторую нелинейности произведем следующие действия. Преобразуем систему таким образом чтобы входом системы оставался один из входов в нашу систему, а выходом вход в нелинейность (два входа рассматриваются отдельно, а затем их дисперсии складываются).

Итак, посчитаем дисперсии от воздействий a и h, на входах первой и второй нелинейности:

Назовем сигнал на входе в первую нелинейность х, во вторую y тогда уравнение связывающие x и a будут иметь вид:



Здесь  коэффициенты статистической линеаризации соответственно первой и второй нелинейностей, далее:







Следовательно передаточная функция будет иметь вид:



Спектральная плотность случайного процесса на входе a имеет вид:



Тогда дисперсия на входе первой нелинейности будет иметь вид:



В теории известно, что интегралы вида:



где:





В аналитической форме имеют вид:

, где





Рассмотрим отдельно знаменатель нашего интеграла, приведенный к виду:





Тогда:





Отсюда следует:





Откуда:



Рассуждая аналогичным образом получим остальные дисперсии:






Отсюда следует, что дисперсия на входе в первую нелинейность имеет вид:



На входе второй нелинейности:



Далее необходимо получить выражения для самих коэффициентов статистической линеаризации, воспользовавшись выведенными раньше соотношениями. Легко видеть, что все интегралы в этих формулах будут иметь один из трех, ниже перечисленных, видов:







Эти интегралы, считаются в численном виде и получаются с помощью функции ошибок и гауссовской плотности вероятности. Они реализованы в программе в виде функций, тогда коэффициенты статистической линеаризации для первого нелинейного элемента будут иметь вид:

K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+

k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);
K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+

k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;

Для второго:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Для третьего:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Линеаризованная система должна иметь вид:



Воспользовавшись уравнениями для нелинейной системы матрицы можно записать:





Легко видеть, что матрица A на каждом шаге интегрирования будет изменяться, в зависимости от коэффициентов линеаризации, которые в свою очередь зависят от дисперсий на входе нелинейных элементов, которые зависят от дисперсий на входе. Следовательно на каждом шаге интегрирования нашей системы мы должны интегрировать дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций K:



Реализуя все вышесказанное получим график изменения вектора состояний линеаризованной системы:



Рисунок 2.

Эволюция матрицы ковариации по входным воздействиям имеет вид:



Рисунок 3
Дисперсия выходной координаты:


Рисунок 4

4.     Заключение


Как видно из рисунков 1 и 2 статистическая линеаризация проведена правильно. Поведение системы в нелинейной и линеаризованной форме примерно одинаково. Из рисунков 3 и 4 следует, что дисперсии сходятся, т. е. через некоторый промежуток времени переходные процессы в системе заканчиваются и на выходе системы имеется стационарный случайный процесс.

5.     Список литературы


1.        Конспект лекций

2.        Лебедев и др. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА.

3.        Корн Г. и Т. Справочник по математике

4.        Поляков Ю. В, Круглов И. Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль 5.5

5.        Бабак С. В., Васильев В. И. и др. Основы теории многосвязных систем автоматического управления ЛА.

1. Реферат Идейно-художественное содержание романа Апулея Метаморфозы или Золотой осёл
2. Реферат на тему Леонiд Глiбов
3. Реферат на тему The Rich Brother Pete Exposed Essay Research
4. Статья Понятие индивида в международном праве
5. Реферат Системные платы
6. Реферат Янгон
7. Курсовая Ответственность по административному праву 2
8. Контрольная работа Учет добавочного капитала кредитной организации
9. Статья на тему О композиционных принципах первой части Сочинений Г Р Державина 1808-1816 гг
10. Реферат на тему Aids Hiv Essay Research Paper Introduction