Диплом

Диплом на тему Положительные и ограниченные полукольца

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-09-30
Выпускная квалификационная работа
Положительные и ограниченные полукольца

Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец ............................................. 4
1.1. Определение полукольца. Примеры.................................................. 4
1.2. Дистрибутивные решетки.................................................................... 5
1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6
Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца.................................. 7
2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец      7
2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец..... 7
Библиографический список........................................................................... 16

Введение
Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец»
1.1.         Определение полукольца. Примеры
Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1.  (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
·        Ассоциативность: ;
·        Коммутативность: ;
·        Существование нейтрального элемента: .
2.  (S,·) – полугруппа:
·        Ассоциативность: ;
3.  Умножение дистрибутивно относительно сложения:
·        левая дистрибутивность:  а(в+с)=ав+ас;
·        правая  дистрибутивность:  (а+в)с=ас+вс.
4.  Мультипликативное свойство 0:
·        .
Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция  в нем коммутативна: .
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):
Примеры полуколец:
1.    <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
2.    <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3.    Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4.    Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5.    Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум  и минимум  двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией    называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется равенство   , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные решетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение  положив,
.
Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.
Отношение  на множестве L является отношением порядка.   
Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что   для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.
Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю  и точную нижнюю  грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:


Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
 , ;
Решетка называется дистрибутивной, если для любых   , ограниченной, если она имеет 0 и 1.
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, b I, s S элементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .
Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если  влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1.    {0} – нулевой идеал;
2.    S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3.    Идеал на полукольце : ;
4.    Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .

Глава II «Положительные и ограниченные  полукольца»
2.1. Определение, примеры  и основные свойства
Полукольцо S  с 1 называется положительным, если для любого элемента а  S элемент а+1 обратим в S, т.е. .
Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1.              ограниченные дистрибутивные решетки;
2.              полукольца непрерывных R+ - значных функций;
3.              множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если для любого  выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
1.               ограниченные дистрибутивные решетки;
2.               множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные свойства положительных и ограниченных  полуколец:
I.                  Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b  S
(a+b  M)  (a  M & b  M).
Доказательство:
1 2. Пусть  для произвольных  и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда  и для некоторых  и . Имеем:
.
В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
2 1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к.  в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда
,т.к. . Получили y=1 и значит .
Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.
Поскольку  выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.
III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента  и любого обратимого элемента  элемент  обратим.
Доказательство.
 Полукольцо положительно, следовательно, элемент  - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
    и  – обратимы,  тогда их произведение также обратимо , значит  обратим.
IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1.     S – дистрибутивная решетка.
2.    
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству  2 следует , тогда:
 и .
Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
 и

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
1.     a+1=1;
2.        
3.      
Доказательство.
. Докажем методом математической  индукции по числу n.
I.                         База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
 и a+1=1

Из I и II Следует .
. .
Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2
 верно, но  совсем неверно.
VII. Если  S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать .
Имеем  . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое  , что  для всех . Тогда:
1.          для всех ;
2.          - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операция определяется так:
.
Доказательство.
1.         Возьмем .
Тогда , т.к. .
Для доказательства понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в  .
I. База. n=1.  Из условия ограниченности


II. И.П. n=i-1.

 Из условия II и ограниченности:

.
По ИП:

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.
Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо  (1 группа), либо  (2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии  и лемме 1. из группы 1 останется только элемент
Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций  и + на множестве I.


(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент




Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент  имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.



С другой стороны


Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:

с). Коммутативность:
,
1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:


(4)      
Все аксиомы полукольца доказаны, а значит  - коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
  ,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
 
Рассмотрим  t>1





 
 

Рассмотрим  t=1,






 
 




 

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X.        В положительном полукольце S   справедливо следующее тождество:

Доказательство.

Домножим на обратный  к :  
Получим:

Что и требовалось доказать.

Библиографический список
1.                      Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
2.                      Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.

1. Реферат на тему Social Democracy Essay Research Paper Austria is
2. Реферат Отчет по производственной практике в КБ Юниаструм Банк
3. Курсовая на тему Организационные формы крупного бизнеса
4. Диплом Повышение безопасности движения на пр Ленинградский снижение аварийности
5. Реферат Ethics Of Cloning Essay Research Paper Running
6. Реферат Список известных личностей, связанных с Самаркандом
7. Реферат на тему Таможня РФ полномочия
8. Реферат на тему Bury Me Essay Research Paper Chapter 1
9. Контрольная работа на тему Управленческое консультирование 2
10. Реферат XXIX век