Статья

Статья на тему Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2013-09-07
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^nc^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^nc^n (где k – число нулей на конце числа a + bc) не равна 0 (числа U' и U'' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку  малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
В.С.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

 
ВИКТОР СОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10.
          [Все случаи с составным n, кроме n = 2k (который сводится к случаю n = 4), сводятся к случаю
             простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
ak k-я цифра от конца в числе a (a1 – последняя цифра).
          [Пример для a = 1043: 1043 = 1x53 + 0x52 + 4x51 + 3x50; a1 = 3, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1.]
a(k) – окончание (число) из k цифр числа a (a(1) = a1; 1043(3) = 043). Везде в тексте a1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0.
          [Если все три числа a, b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn.]
(ain)1 = ai и (ain - 1)1 = 1 (см. Малую теорему Ферма  для ai SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0).                                        (0.1°)
(n + 1)n = (10 + 1)n = 11n = …101 (см.  Бином Ньютона  для простого n).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 1 [a1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0]:
          если цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n,
          то цифра ans+1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n, или dn).                   (0.2°)
          [В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°)    Допустим, что an + bncn = 0       .
Случай 1: (bc)1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10? 0.
(2°)  Пусть u = a + bc, где u(k) =  0, uk+1  SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10? 0, k > 0 [известно, что в 1° u > 0 и k > 0].
(3°) Умножим равенство 1° на число d1n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
          цифру  uk+1  в 5. После этой операции обозначения чисел не меняются
          и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
          Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + bcu(k) =  0, uk+1 = 5.
(1*°)  И пусть a*n + b*nc*n = 0,  где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11n .
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:  u, u' = a(k) + b(k)c(k),
 u'' = u – u' = (a – a(k)) + (b – b(k)) – (c – c(k)), v = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1, u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k), 
u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k)) + (b* – b*(k)) – (c* – c*(k)), 11u', 11u'',  v* = (a*k+2 + b*k+2 – c*k+2)1,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) uk+1 = (u'k+1 + u''k+1)1 = 5;
(5°) u'k+1 = (–1, 0 или 1) – так как  – nk < a'(k) < nk,  – nk < b'(k) < nk,  – nk < c'(k) < nk 
          и  числа a, b, c имеют различные знаки;
(6°) u''k+1 = (4, 5 или 6)  (см. 3a° и 5°) [важно: 1 < u''k+1  < n – 1];
(7°) u'k+2 = 0 [всегда!] – так как  \u'\ < 2nk ;
(8°) u''k+2 = uk+2  [всегда!];
(9°) u''k+2 = [v + (ak+1 + bk+1ck+1)2]1, где (ak+1 + bk+1ck+1)2 = (–1, 0 или 1);
(10°) v = [uk+2 – (a(k+1) + b(k+1)c(k+1))k+2]1 [где (a(k+1) + b(k+1)c(k+1))k+2 = (–1, 0 или 1)] =
          = [uk+2(–1, 0 или 1)]1;
(11°) u*k+1 = uk+1 = 5 – т.к. u*k+1 и uk+1 – последние значащие цифры в числах u* и u;
(12°) u*'k+1 = u'k+1 – т.к. u*'k+1 и u'k+1 – последние значащие цифры в числах u*' и u';
(13°) u*''k+1 = (u*k+1 – u*'k+1)1 = (3 – u*'k+1)1 = (4, 5 или 6) [важно: 1 < u*''k+1  < n – 1];
(14°) (11u')k+2 = (u'k+2 + u'k+1)1 (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –
          величина u'k+1 «уходит» в u*''k+2, поскольку u*'k+2 = 0);
          (14a°) важно: числа (11u')(k+2) и u*'(k+2) отличаются только k+2-ми цифрами, а именно:
          u*'k+2 = 0, но (11u')k+2 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0 в общем случае;
(15°) (11u'')k+2 = (u''k+2  + u''k+1)1;
(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 = (u''k+2 + uk+1)1 = (u''k+2 + 5)1;
          (16а°) к сведению: u*'k+2 = 0 (см. 7°);
(17°) u*''k+2 = (u*k+2 +1, u*k+2 или u*k+21)1 = (см. 9°) = (u''k+2 + 4, u''k+2 + 5  или u''k+2 + 6)1;
(18°) v* = [u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2]1
          [где u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 (см. 16°), а (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2 = (–1, 0 или 1) см. 10°] =
          = [(uk+2 + uk+1)1 (–1, 0 или 1)]1.
(19°) Введем числа U' = (ak+1)n + (bk+1)n – (ck+1)n, U'' = (an + bn – cn) – U', U = U' + U'',
          U*' = (a*k+1)n + (b*k+1)n – (c*k+1)n, U*'' = (a*n + b*n – c*n) – U*', U* = U*' + U*'';
          (19а°) к сведению: U'(k+1) = U*'(k+1) = 0.
(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].
Действительно, из 1° мы имеем:
          U = an + bn – cn =
          = (a(k+1) + nk+1ak+2 + nk+2Pa)n + (b(k+1) + nk+1bk+2 + nk+2Pb)n – (c(k+1) + nk+1ck+2 + nk+2Pc)n =
       = (a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n) + nk+2(ak+2a(k+1)n - 1 + bk+2b(k+1)n - 1 – ck+2c(k+1)n - 1) + nk+3P =
       = U' + U'' = 0, где
                U' = a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n,
(20a°)                   U'' = nk+2(ak+2a(k+1)n -1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n -1) + nk+3P,
                   где (ak+2a(k+1)n -1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n -1)1 = (см. 0.1°)=
(20b°)         = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1 = U''k+3 = v  (см. 4°).      
(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3)1 = 0.
(22°) Вычислим цифру (11nU')k+3:
          [так как числа (11u')(k+2) и u*'(k+2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину
          (11u')k+2), то на эту величину будут отличаться и цифры (11nU')k+3 и U*'k+3, это означает,
          что цифра (11nU')k+3 будет на (11u')k+2 превышать цифру U*'k+3 (см. 0.2°)]
          (11nU')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2)1 = (U*'k+3 + u'k+1)1.
(23°) Откуда U*'k+3 = U' k+3 – u'k+1.
(24°) Вычислим цифру U*'' k+3 :
          U*'' k+3 = v* = (uk+2 + uk+1)1 (–1, 0 или 1) – см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру (U*'k+3 + U*''k+3)1:
          (U*'k+3 + U*''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3)1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3)1 =
          (см. 23° и 24°) = (– u'k+1 + v* v) = (см. 18° и 10°) =
          = (– u'k+1 + [uk+2 + uk+1 (–1, 0 или 1)] [uk+2(–1, 0 или 1)])1 =
          = (– u'k+1 + uk+1 + (–2, –1, 0, 1, или 2))1 = (см. 3a°) =
          ( u''k+1 + (–2, –1, 0, 1, или 2))1 = (см. 6°) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8) SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0,
          что противоречит 21° и, следовательно, выражение 1° есть неравенство.
Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c) = ntb', где b1 = 0 и bt+1 = b'1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0.
(26°) Введем число u = ca > 0, где  u(nt – 1) = 0, а  unt SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10?(см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d1n (с целью превратить цифру  unt в 5)
          (см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u' = a(nt – 1)c(nt – 1),  u'' = (aa(nt – 1)) – (cc(nt – 1)) (где, очевидно, u''nt = (antcnt)1);
             U' = a(nt)n + bnc(nt)n (где U'(nt + 1) = 0 см. 1° и 26°), U'' = (ana(nt)n) – (cnc(nt)n),
          U*' = a*(nt)n + b*nc*(nt)n (где U*'(nt + 1) = 0), U*'' = (a*na*(nt)n) – (c*nc*(nt)n),
          v = ant+1 – cnt+1.
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра  в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bnnt+1 и bnnt+2 при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n(3) = 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
 
==================
ПРИЛОЖЕНИЕ
 
§1. Если числа a, b, c не имеют общих сомножителей и b1 = (ca)1 = 0,
             тогда из числа R = (cn an)/(ca) =
             = cn –1 + cn –2a + cn –3a2 + … c2an - 3 + can - 2 + an - 1 =
             = (cn –1 + an –1) + ca(cn –3 + an –3) + … + c(n –1)/2a(n –1)/2 =
             = (cn –1 – 2c(n –1)/2a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2a(n –1)/2) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2a(n –3)/2) +
             + … + c(n –1)/2a(n –1)/2 = (ca)2P + nc(n –1)/2a(n –1)/2  следует, что:
                         ca делится на n2, следовательно R делится на n и не делится на n2;
                         так как R > n, то число R имеет простой сомножитель r не равный n;
                         ca не делится на r;
                         если b = ntb', где b'1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0, то число c – a делится на ntn – 1  и не делится ntn.
§2. Лемма. Все n цифр (a1di)1, где di = 0, 1, … n – 1, различны.
             Действительно, допустив, что (a1d1*)1 = (a1d1**)1, мы находим: ((d1* – d1**)a1)1 = 0.
             Откуда d1* = d1**. Следовательно, множества цифр a1 (здесь вместе с a1 = 0) и d1 совпадают.
          [Пример для a1 = 2: 0:  2x0 = 0; 1:  2x3 = 11; 2:  2x1 = 2; 3:  2x4 = 13; 4:  2x2 = 4.
             При составном n Лемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)1 = 4, и (2х7)1 = 4.]
§2a. Следствие. Для любой цифры a1 SYMBOL 185 \f "Symbol" \s 10 0 cуществует такая цифра di, что (a1di)1 = 1.
          [Пример для a1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1; 2x3 = 11; 3x2 = 11; 4x4 = 31.]
ВИКТОР СОРОКИН
e-mail: victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk

1. Доклад на тему Личная гигиена и внешний вид при беременности
2. Реферат на тему Полководцы древней Руси
3. Реферат Хроника Ливонии
4. Реферат Социальный статус судьи по легкой атлетике
5. Реферат на тему Стратегия бизнеса по фон Клаузевицу
6. Реферат Бухгалтерский учет, его место в системе управления экономикой организации
7. Реферат календарного счисления тесно связанного с астрономическими наблюдениями а также элементарная
8. Реферат на тему Развитие теории и практики баз данных
9. Реферат на тему Black Bear Essay Research Paper Matt MeaneyPeriod
10. Реферат Культура первобытного мира